Question

已知函數f（x）=-mx²+nx+．
（1）若函數f（x）在x=2處取得極值1，求m、n的值．
（2）若函數f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為f（x）在x=2處取得極值1，所以f（2）=1且f′（2）=0，代入聯立即可求出m與n的值；
（2）根據切線與x軸平行得到切線的斜率為0即f′（2）=0，代入化簡得到m與n的關系式，把關系式代入到導函數中消去n，令f′（x）=0解出x=2，x=2m-2，然后分2m-2大于2即m大于2，2m-2小于2即m小于2，2m-2等于2即m=2三種情況討論導函數的正負即可得到函數的單調區間．
解答：解：（1）∵f′（x）=x²-2mx+n，函數f（x）在x=2處取得極值1
∴即解得；
（2）∵函數f（x）在點（2，f（2））處的切線與x軸平行，∴f′（2）=4-4m+n=0即n=4m-4
∴f′（x）=x²-2mx+n=x²-2mx+4m-4=（x-2）[x-（2m-2）]
①當m＞2時，

∴函數f（x）的單調增區間為（-∞，2m-2），（2，+∞）；
②當m＜2時，

∴函數f（x）的單調增區間為（-∞，2m-2），（2，+∞）；
③當m=2時，f′（x）=（x-2）²≥0，函數f（x）的單調區間為（-∞，+∞）．
綜上所述，當m＞2時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，2），（2m-2，+∞）；
當m＜2時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，2m-2），（2，+∞）；
當m=2時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）．
點評：本題要求學生掌握函數取極值時的條件，會利用x的取值范圍討論導函數的正負得到函數的單調區間，會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，是一道中檔題．