Question

已知函數y=x+

4

x

．
（1）判斷此函數在（0，2）的單調性，并用定義證明；
（2）判斷此函數的奇偶性；
（3）求在區間[-2，-1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性的定義判斷此函數在（0，2）的單調性，并用定義證明；
（2）根據函數奇偶性的定義判斷此函數的奇偶性；
（3）根據函數的單調性和奇偶性的關系，求函數在區間[-2，-1]上的最值即可．

解答：解；（1）設y=f（x）=x+

4

x

．
任設0＜x₁＜x₂＜2，
則f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數函數在（0，2）的單調遞減．
（2）函數的定義域為{x|x≠0}，定義域關于原點對稱．
∵f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），．
∴函數f（x）為奇函數．
（3）由（1）（2）知f（x）在[-2，-1]上是減函數，
∴當x=-1時，f（x）取得最小值f（-1）=-5，
當x=-2時，f（x）取得最大值f（-4）=-4．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．