Question

已知函數f(x)=

1

(1-x)n

+aln(x-1)，其中n∈N^*，a為常數．
（Ⅰ）當n=2時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，有f（x）≤x-1．

Answer 1

分析：（1）欲求：“當n=2時，f(x)=

1

(1-x)2

+aln(x-1)”的極值，利用導數，求其導函數的零點及單調性進行判斷即可；
（2）欲證：“f（x）≤x-1”，令g(x)=x-1-

1

(1-x)n

-ln(x-1)，利用導函數的單調性，只要證明函數f（x）的最大值是x-1即可．

解答：解：（Ⅰ）解：由已知得函數f（x）的定義域為{x|x＞1}，
當n=2時，f(x)=

1

(1-x)2

+aln(x-1)，所以f′(x)=

2-a(1-x)2

(1-x)3

．
（1）當a＞0時，由f'（x）=0得x1=1+

2 a

＞1，x2=1-

2 a

＜1，
此時f′(x)=

-a(x-x1)(x-x2)

(1-x)3

．
當x∈（1，x₁）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（x₁，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
（2）當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值．
綜上所述，n=2時，
當a＞0時，f（x）在x=1+

2 a

處取得極小值，極小值為f(1+

2 a

)=

a

2

(1+ln

2

a

)．
當a≤0時，f（x）無極值．
（Ⅱ）證法一：因為a=1，所以f(x)=

1

(1-x)n

+ln(x-1)．
當n為偶數時，
令g(x)=x-1-

1

(1-x)n

-ln(x-1)，
則g′(x)=1+

n

(x-1)n+1

-

1

x-1

=

x-2

x-1

+

n

(x-1)n+1

＞0（x≥2）．
所以當x∈[2，+∞）時，g（x）單調遞增，
又g（2）=0，
因此g(x)=x-1-

1

(x-1)n

-ln(x-1)≥g(2)=0恒成立，
所以f（x）≤x-1成立．
當n為奇數時，要證f（x）≤x-1，由于

1

(1-x)n

＜0，所以只需證ln（x-1）≤x-1，
令h（x）=x-1-ln（x-1），
則h′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

≥0（x≥2），
所以當x∈[2，+∞）時，h（x）=x-1-ln（x-1）單調遞增，又h（2）=1＞0，
所以當x≥2時，恒有h（x）＞0，即ln（x-1）＜x-1命題成立．
綜上所述，結論成立．
證法二：當a=1時，f(x)=

1

(1-x)n

+ln(x-1)．
當x≥2時，對任意的正整數n，恒有

1

(1-x)n

≤1，
故只需證明1+ln（x-1）≤x-1．
令h（x）=x-1-（1+ln（x-1））=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），
則h′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

，
當x≥2時，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調遞增，
因此當x≥2時，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立．
故當x≥2時，有

1

(1-x)n

+ln(x-1)≤x-1．
即f（x）≤x-1．

點評：本題主要考查函數的導數、不等式等知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力．