Question

已知函數f（x）=

|lgx|，x＞0 x-x2，x≤0

，若關于x的方程f²（x）+2f（x）+b=0有三個不同的實數根，則實數b的范圍為

b≤0

．

Answer 1

分析：作出函數f（x）的圖象，根據圖象確定b的條件即可．

解答：解：作出函數f（x）的圖象如圖：
設t=f（x），則由圖象可知，
當t＞0時，t=f（x）有兩個交點，
當t=0時，t=f（x）有兩個交點，
當t＜0時，t=f（x）有1個交點．
則f²（x）+2f（x）+b=0等價為t²+2t+b=0，
若關于x的方程f²（x）+2f（x）+b=0有三個不同的實數根，
則對應t²+2t+b=0的兩個根t₁，t₂滿足t₁≥0，t₂＜0，
∴t₁t₂≤0，即b≤0．
故答案為：b≤0．

點評：本題主要考查函數零點個數的判斷，利用換元法將方程轉化為一元二次方程，利用數形結合是解決此類問題的基本方法．