Question

（2006•寶山區二模）已知S_n是各項均為正數的遞減等比數列{a_n}的前n項之和，且a2=

1

2

，S3=

7

4

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設y=f（x）是偶函數，當x≤0時，f（x）=log₂（x+1），求f（x）的定義域D及其解析式；
（3）對任意正整數n和（2）中的f（x），若不等式f（x）+a_n＜0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設公比為q，由題意可列方程組，解出后根據等比數列通項公式可求得a_n；
（2）由x≤0時，x+1＞0，可得x的范圍，再根據偶函數定義域的對稱性特點可求得D；
（3）由{a_n}是遞減數列可求得數列最大項a₁=1，因而，若f（x）+a_n＜0恒成立，則有f（x）+1＜0恒成立，分x≤0，x＞0兩種情況進行討論可求得x的范圍．

解答：解：（1）設公比為q，
由題意得，

a1q= 1 2 a1(1-q3) 1-q = 7 4

，

a1=1 q= 1 2

或

a1= 1 4 q=2

（舍），
∴an=(

1

2

)n-1；
（2）由題意，當x≤0時，x+1＞0，即x＞-1，
又因為y=f（x）是偶函數，
所以D=（-1，1），
當0＜x＜1時，-1＜-x＜0，則f（-x）=log₂（1-x），
又f（x）為偶函數，所以f（x）=f（-x）=log₂（1-x），
∴f(x)=

log2(1-x)，0＜x＜1 log2(1+x)，-1＜x≤0

；
（3）由（1）知{a_n}是遞減數列，最大項為a₁=1，
因而，若f（x）+a_n＜0恒成立，則有f（x）+1＜0恒成立．
①當x≤0時，由log₂（x+1）+1＜0，解得-1＜x＜-

1

2

；
②當x＞0時，由log₂（1-x）+1＜0，解得

1

2

＜x＜1；
綜上，當x∈(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)時，f（x）+a_n＜0恒成立．

點評：本題考查數列與函數、數列與不等式、等比數列的通項公式等知識，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．