Question

已知數列{a_n}前n項的和為S_n，前n項的積為T_n，且滿足T_n=2^n（1-n）．
①求a₁；
②求證：數列{a_n}是等比數列；
③是否存在常數a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）對n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“數列{a_n}前n項的和為S_n，前n項的積為T_n，且滿足T_n=2^{n（1-n）”}令n=1可求解．
（2）證明：由T_n=2^n（1-n）解得T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}兩式相除，整理可得數列{a_n}是等比數列；
（3）由（2）求解得再求得，
代入（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）兩端驗證可即可．
解答：解：（1）∵數列{a_n}前n項的和為S_n，前n項的積為T_n，且滿足T_n=2^n（1-n）．
∴a₁=T₁=2^1（1-1）=1
（2）證明：∵T_n=2^n（1-n）．
∴T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}．
將上面兩式相除，
得：a_n=2^{[-2（n-1）]}．
∴a_n=^（n-1）．
∵a_n+1=^（n）．

∴數列{a_n}是等比數列；

（3）∵
∴，
∵（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）
∴（S_n+1-a）²=
而：（S_n+2-a）（S_n-a）=（S_n+2-）（S_n-）=
（S_n+1-）²=（S_n+2-）（S_n-）對n∈N⁺都成立
即：存在常數a=，使（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）對n∈N⁺都成立．
點評：本題主要考查數列的類型和數列的通項公式和前n項和公式，還考查了存在性問題，這類問題一般通過具體的探究出來，再證明．