Question

（2011•徐州模擬）已知函數f（x）=sin²（x-

π

6

）+cos²（x-

π

3

）+sinx•cosx，x∈R．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時的x的值；
（2）求f（x）在[0，π]上的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）先由兩角差的正弦（余弦）公式，倍角公式化簡解析式，再由正弦函數的最大值求出函數的最大值 以及對應的自變量的值；
（2）由x的范圍求出“2x-

π

4

”的范圍，再由正弦函數的單調性求出函數的增區間．

解答：解：（1）由題意得，
f（x）=(sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

)2+(cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

)2+sinx•cosx
=sin²x+sinx•cosx+

1

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+1
=

2

2

sin(2x-

π

4

)+1，
當2x-

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
即x=

3π

8

+kπ（k∈Z）時，函數f（x）取最大值為：

2

2

+1，
（2）由0≤x≤π得，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

7π

4

，
∴函數f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+1的增區間是：[-

π

4

，

π

2

]．

點評：本題考查了正弦函數的性質，以及三角恒等變換中的公式在化簡解析式時應用，屬于中檔題．