Question

（2011•徐州模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知圓B：（x-1）²+y²=16與點A（-1，0），P為圓B上的動點，線段PA的垂直平分線交直線PB于點R，點R的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C與x軸正半軸交點記為Q，過原點O且不與x軸重合的直線與曲線C的交點記為M，N，連接QM，QN，分別交直線x=t（t為常數(shù)，且t≠2）于點E，F(xiàn)，設E，F(xiàn)的縱坐標分別為y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

Answer 1

分析：（1）利用線段的垂直平分線的性質和橢圓的定義即可得出；
（2）設M（x₀，y₀），則N（-x₀，-y₀），由Q（2，0），可分別表示出QM，QN的斜率，利用點斜式即可得到直線QM，QN的方程，進而即可得到點E，F(xiàn)的縱坐標，再利用點M，N在橢圓上，滿足橢圓的方程即可得出．

解答：解：（1）連接RA，由題意得，|RA|=|RP|，|RP|+|RB|=4，
∴|RA|+|RB|=4＞|AB|=2，
由橢圓定義得，點R的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設M（x₀，y₀），則N（-x₀，-y₀），QM，QN的斜率分別為k_QM，k_QN，
則kQM=

y0

x0-2

，kNQ=

y0

x0+2

，
∴直線QM的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，直線QN的方程y=

y0

x0+2

(x-2)，
令x=t（t≠2），則y1=

y0

x0-2

(t-2)，y2=

y0

x0+2

(t-2)，
又∵（x₀，y₀）在橢圓

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，
∴y1•y2=

y 2 0

x 2 0 -4

(t-2)2=

(3- 3 4 x 2 0 )(t-2)2

x 2 0 -4

=-

3

4

(t-2)2，其中t為常數(shù)．

點評：熟練掌握線段的垂直平分線的性質和橢圓的定義及其性質、直線的斜率計算公式和點斜式等是解題的關鍵．