Question

（2011•徐州模擬）過點P（5，4）作直線l與圓O：x²+y²=25交于A，B兩點，若PA=2，則直線l的方程為

y=4或40x-9y-164=0

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：當直線l的斜率為0時，經檢驗符合題意，并由OQ為P縱坐標，利用垂徑定理及勾股定理求出MN的長，即為AB的長；當直線l斜率不為0時，設為k，表示出直線l方程，由AB長求出AC長，利用勾股定理求出OC的長，即為圓心到直線l的距離d，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意直線l的方程．

解答：解：當直線l斜率為0時，A與M重合，B與N重合，此時OQ=4，
由垂徑定理定理得到Q為MN中點，連接OM，
根據勾股定理得：QM=

OM2-OQ2

=3，
∴MN=2QM=6，
此時直線l方程為y=4，符合題意；
當直線l斜率不為0時，設為k，直線l方程為y-4=k（x-5），即kx-y+4-5k=0，
由割線定理得到AB=MN=6，再由垂徑定理得到C為AB的中點，即AC=

1

2

AB=3，
過O作OC⊥AB，連接OA，
根據勾股定理得：OC=

OA2-AC2

=4，
∴圓心O到直線l的距離d=

|4-5k|

1+k2

=4，解得：k=0（舍去）或k=

40

9

，
則此時直線l的方程為

40

9

x-y+4-5×

40

9

=0，即40x-9y-164=0，
綜上，直線l的方程為y=4或40x-9y-164=0．
故答案為：y=4或40x-9y-164=0

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線的一般式方程，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，坐標與圖形性質，利用了數形結合及分類討論的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．