Question

已知=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），x∈R，定義函數f（x）=•-
（1） 求函數．f（x）的最小正周期，值域，單調增區間．
（2） 設△ABC的三內角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，且c=，f（C）=0，若=（1，sinA）與=（2，sinB）
共線，求a，b的值．

Answer 1

解：（1）由題意可知：f（x）=•-=sinxcosx-cos²x-
=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，
∴f（x）的最小正周期T=π，值域為[-2，0]，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）的增區間為：[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-）-1，又f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-）-1=0，又C為△ABC的內角，∴C=，
又=（1，sinA）與=（2，sinB）共線，∴sinB=2sinA，根據正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab②，
聯立①②，解得a=1，b=2．
分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則求出•，代入f（x）解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角差的正弦函數公式化簡為一個角的正弦函數，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數的值域和正弦函數的單調增區間即可求出f（x）的值域和單調增區間；
（2）由f（C）=0，代入f（x）的解析式中，根據C的范圍，即可得到C的度數，然后根據平面向量平行時滿足的條件以及正弦定理得到a與b的關系式，記作①，再根據余弦定理，由c和sinC的值表示出a與b的另一個關系式，記作②，聯立①②即可求出a與b的值．
點評：此題考查學生掌握平面向量的數量積得運算法則及兩向量平行時滿足的條件，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．