Question

已知向量

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），函數f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2．
（1）求函數f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，其中A為銳角，a=2

3

，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量數量積的坐標表示可得，結合輔助角公式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），利用周期公式T=

2π

ω

可求；
（Ⅱ）由f(A)=sin(2A-

π

6

)=1結合A∈(0，

π

2

)，2A-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)可得2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

，由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，從而有12=b2+16-2×4b×

1

2

，即b²-4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面積公式可求．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=(

a

+

b

)•

a

-2=

a

2+

a

•

b

-2=sin2x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2（2分）
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)（4分）
因為ω=2，所以T=

2π

2

=π（6分）
（Ⅱ）f(A)=sin(2A-

π

6

)=1
因為A∈(0，

π

2

)，2A-

π

6

∈(-

π

6

，

5π

6

)，所以2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

（8分）
則a²=b²+c²-2bccosA，所以12=b2+16-2×4b×

1

2

，即b²-4b+4=0
則b=2（10分）
從而S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×sin60°=2

3

（12分）

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，輔助角公式的應用，三角函數的周期公式的應用，由三角函數值求角，及三角形的面積公式．綜合的知識比較多，但試題的難度不大．