Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，橢圓的上焦點為，橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程.

（2）設過橢圓的上頂點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的方程為.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率為，且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可求得橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，由，求得點坐標，求得點坐標，根據向量數量積的坐標運算列方程求得，即可求得直線的方程.

試題解析：（1）因為橢圓的離心率為，所以

即可得，所以橢圓的方程為，

把點代入中，

解得

所以橢圓方程為

（2）設直線的斜率為，

則直線的方程為

由

設由（1）知，設，

則有

所以 所以

因為，所以在線段的中垂線上.

所以，又，

所以，即，

設，又直線垂直

∴

∴，即

又 ∴，

又∴

所以直線的方程為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.