Question

19．已知函數f（x）=x^m-$\frac{4}{x}$，且f（4）=3．
（1）求m的值；
（2）求證：f（x）是奇函數；
（3）若不等式f（x）-a＞0在區間（1，∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代值計算即可，
（2）根據奇函數的定義即可證明，
（3）不等式f（x）-a＞0在區間（1，∞）上恒成立，則a＜f（x）_min，根據函數的單調性即可求出．

解答 解：（1）∵f（x）=x^m-$\frac{4}{x}$，且f（4）=3
∴4^m-1=3，
解得m=1；
（2）證明：由（1）可得f（x）=x-$\frac{4}{x}$，定義域（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
且有f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（3）不等式f（x）-a＞0在區間（1，∞）上恒成立，
∴a＜f（x）在區間（1，∞）上恒成立，
∵f（x）在[1，+∞）為增函數，
∴f（x）_min=f（1）=-3，
故a＜-3．

點評 本題考查了函數的解析式的求法和函數的奇偶性以及函數的單調性，屬于中檔題．