Question

（本小題滿分12分）某工廠生產某種兒童玩具，每件玩具的成本為30元，并且每件玩具的加工費為元（其中為常數，且），設該工廠每件玩具的出廠價為元（），根據市場調查，日銷售量與（為自然對數的底數）成反比例，當每件玩具的出廠價為40元時，日銷售量為10件.
（Ⅰ）求該工廠的日利潤(元)與每件玩具的出廠價元的函數關系式；
（Ⅱ）當每件玩具的日售價為多少元時，該工廠的利潤最大，并求的最大值.

Answer 1

(Ⅰ)，其中.    (Ⅱ) 見解析

（Ⅰ）設日銷量為則.       （2分）
則日售量為日利潤.
，其中.                       （5分）
（Ⅱ） 令得.                        （7分）
①當時，. 當時，.
當時，取最大值，最大值為.                        （9分）
②當時，，函數在上單調遞增，在上單減.  當時，取最大值. （12分）當時，時，日利潤最大值為元
當時，時，日利潤最大值為元.   （12分）