Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，⊥底面，為的中點，與平面所成的角為.

（1）求證:；

（2）求異面直線與所成的角的大小（結果用反三角函數表示）；

（3）若直線與平面所成角分別為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）由平面，則 .又，得到平面，而平面，所以.

（2）由（1）可知平面，所以為與平面所成的角.再由，得到.，然后建立空間直角坐標系，分別求得，，再代入線線角的向量法公式求解.

（3）先求平面的一個法向量，再求得，，利用線面角的向量方法，求得，即可.

（1）∵平面，平面，

∴.

∵四邊形是正方形，

∴.又平面，平面，，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由（1）可知平面，

∴為與平面所成的角.

∴，∴.∴.

如圖：

以為原點，以為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，.

∴，.

.

∴異面直線與所成的角為.

（3）∵，，

∴，，.

設平面的法向量為，

則，即，

令得.

∴，

.

∴，.

∴.