Question

已知曲線 y=

1

3

x3+2x-

2

3

．
（1）求曲線在點P（2，6）處的切線方程；
（2）求曲線過點P（2，6）的切線方程．

Answer 1

（1）由題意得，y′=x²+2，
∴在點P（2，6）處的切線的斜率k=y′|_x=2=6，
∴在點P（2，6）處的切線方程為：y-6=6（x-2）
即 6x-y-6=0，
（2）設曲線y=

1

3

x3+2x-

2

3

與過點P（2，6）的切線相切于點A(x0，

1

3

x

30

+2x0-

2

3

)，
則切線的斜率k=y′|x=x0=

x

20

+2，
∴切線方程為y-(

1

3

x

30

+2x0-

2

3

)=(

x

20

+2)(x-x0)，
即y=(

x

20

+2)x-

2

3

x

30

-

2

3

  ①，
∵點P（2，6）在切線上，∴6=2(

x

20

+2)-

2

3

x

30

-

2

3

，
即

x

30

-3

x

20

+4=0，∴

x

30

+

x

20

-4

x

20

+4=0，
∴

x

20

(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，化簡得(x0+1)(x0-2)2=0
解得x₀=-1或x₀=2，代入①得，y=3x或y=6x-6，
故所求的切線方程為3x-y=0，6x-y-6=0．