Question

已知函數是定義在上的奇函數，給出下列命題：

（1）；

（2）若在 [0, 上有最小值 -1，則在上有最大值1；

（3）若在 [1, 上為增函數，則在 上為減函數；

（4）若時，； 則時，。

其中正確的序號是：                  。

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】

試題分析：（1）利用奇函數的定義可作出判斷；（2）利用奇函數的定義以及圖象關于原點對稱可作出判斷；（3）利用奇函數在關于原點對稱的區間上單調性一致作出判斷。（4）結合奇函數的對稱性求解得到。

解：（1）因為f（x）是R上的奇函數，所以f（-x）=-f（x），則f（-0）=-f（0），即f（0）=0，故（1）正確；（2）f（x）在[0，+∞）上有最小值-1，即f（x）-1，當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），則f（-x）-1，所以f（x）=-f（-x）1，即f（x）在（-∞，0）上有最大值1，故（2）正確；（3）因為奇函數的圖象關于原點對稱，所以奇函數在關于原點對稱的區間上單調性一致，故（3）錯誤；（4）若時，； 則根據奇函數，結合對稱性可知，時，成立，故答案為：①②④．

考點：函數的性質運用

點評：本題以命題為載體考查函數的奇偶性、單調性，準確把握奇偶函數的定義及其圖象特征是解決本題的基礎