Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）在線段上是否存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？ 若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）略
（2）

解：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設為．   
∵ 兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，
∴．   所求橢圓方程為．                      ……………4分
（Ⅱ）假設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，所以設直線的方程為．
由   可得．
∴．
．其中
以為鄰邊的平行四邊形是菱形


．
∴．                                                  ………………………12分