Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且有S_n=

1

2

n²+

11

2

n，數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9項和為153；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）設c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，數列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞

k

57

對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}的前n項和為S_n，且有S_n=

1

2

n²+

11

2

n，利用公式a_n=S_n-S_n-1，求出a_n的通項公式；
（2）又因為b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數列{b_n}為等差數列，根據等差數列的性質，求出b_n的通項公式；
（3）由（1）可知a_n和b_n的通項公式，代入c_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

，利用裂項法，求出前n項和T_n，根據不等式T_n＞

k

57

，求出k的值；

解答：解：（1）因為S_n=

1

2

n²+

11

2

n，故
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n+5；當n=11時，a₁=S₁=6；滿足上式；
所以a_n=n+5，
（2）又因為b_n+2-2b_n+1+b_n=0，所以數列{b_n}為等差數列；
由S₉=

9(b3+b7)

2

=153，b₃=11，故b₇=23；所以公差d=

23-11

7-3

=3；
所以：b_n=b₃+（n-3）d=3n+2；
（3）由（1）知：C_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

，
而C_n=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
又因為T_n+1-T_n=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+3)(2n+1)

＞0；
所以{T_n}是單調遞增，故（T_n）_min=T₁=

1

3

；
由題意可知

1

3

＞

k

57

；得k＜19，所以k的最大正整數為18；

點評：本題為數列和不等式的綜合應用，涉及求數列的通項，數列的求和以及恒成立問題，數列題是高考中常考的題型，屬中檔題，有一定的難度；