Question

一個(gè)圓環(huán)直徑為2

2

m，通過(guò)鐵絲BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圓上三等分點(diǎn)）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2m，如圖所示．設(shè)BC長(zhǎng)為x（m），問(wèn)當(dāng)x取多長(zhǎng)時(shí)，鐵絲總長(zhǎng)y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意C，A₁，A₂，A₃四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三棱錐，然后利用側(cè)棱的長(zhǎng)度求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值．

解答：解：由題意C，A₁，A₂，A₃四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三棱錐，
CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側(cè)棱．
三棱錐的側(cè)棱CA1=

(2-x)2+2

；
于是有y=x+3

(2-x)2+2

．（0＜x＜2）
對(duì)y求導(dǎo)得y′=1-

3(2-x)

(2-x)2+2

．
令y'=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，
解得x=

3

2

或x=

5

2

（舍）．
當(dāng)x∈(0，

3

2

)時(shí)，y'＜0，
當(dāng)x∈(

3

2

，2)時(shí)，y'＞0．
故當(dāng)x=

3

2

時(shí)，即BC=1.5m時(shí)，y取得最小值為6m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，抽象出數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性并求解，屬于基礎(chǔ)題．