Question

一個圓環直徑為2

2

m，通過金屬鏈條BC、CA₁、CA₂、CA₃（A₁、A₂、A₃是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環呈水平狀態，并距天花板2m（如圖所示），為使金屬鏈條總長最小，BC的長應為

 

m．

Answer 1

分析：根據題意C，A₁，A₂，A₃四點構成一個正三棱錐，然后利用側棱的長度求導，判斷單調區間，最后根據函數單調性求最值時BC的值．

解答：解：由題意C，A₁，A₂，A₃四點構成一個正三棱錐，
CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側棱．
三棱錐的側棱 CA1=

(2-x)2+2

；
于是有 y=x+3

(2-x)2+2

．（0＜x＜2）
對y求導得 y′=1-

3(2-x)

(2-x)2+2

．
令y'=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，
解得 x=

3

2

或x=

5

2

（舍）．
當 x∈(0，

3

2

)時，y'＜0，
當 x∈(

3

2

，2)時，y'＞0．
故當 x=

3

2

時，即BC=1.5m時，y取得最小值為6m．
故答案為：1.5

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，抽象出數學模型，利用導數判斷單調性并求解，屬于基礎題．