Question

一個圓環直徑為2

2

m，通過鐵絲BC，CA₁，CA₂，CA₃（A₁，A₂，A₃是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環呈水平狀態并距天花板2m，如圖所示．
（Ⅰ）設BC長為x（m），鐵絲總長為y（m），試寫出y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（Ⅱ）當x取多長時，鐵絲總長y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意C，A₁，A₂，A₃四點構成一個正三棱錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側棱，再利用直角三角形中的邊的關系即可求得鐵絲總長；
（Ⅱ）欲求鐵絲總長y的最小值，先對y求導，利用導數的知識研究函數的單調性，進而求得其最小值即可解決問題．

解答：解：（Ⅰ）由題意C，A₁，A₂，A₃四點構成一個正三棱錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側棱．（2分）
三棱錐的側棱CA1=

(2-x)2+2

；（4分）
于是有y=x+3

(2-x)2+2

．（0＜x＜2）（5分）
（Ⅱ）對y求導得y′=1-

3(2-x)

(2-x)2+2

．（8分）
令y'=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，
解得x=

3

2

或x=

5

2

（舍）．（10分）
當x∈(0，

3

2

)時，y'＜0，
當x∈(

3

2

，2)時，y'＞0．（12分）
故當x=

3

2

時，即BC=1.5m時，y取得最小值為6m．（13分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、導數在研究函數單調性上的應用及函數的最值，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．