Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=3•(

3

2

)n-1-1(n∈N*)，數列{b_n}滿足bn=

an+1

log 3 2 an+1

(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并說明{a_n}是否為等比數列；
（2）求數列{

1

bn

}的前n項和前T_n；
（3）若-

8

3

bn＞2t-t2對任意的n∈N^*恒成立，求t的最小正整數值．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式，再寫一式，兩式相減可得數列通項，利用等比數列的定義可得結論；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法求數列的和；
（3）確定b_n的最小值為b₂=b₃=

9

8

，從而將不等式轉化為t的不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=3×1-1=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=(

3

2

)n-1
∴an=

2，n=1 ( 3 2 )n-1，n≥2

∵n=1時，a₁=S₁=3×1-1=2不滿足an=(

3

2

)n-1
∴{a_n}不是等比數列；
（2）∵bn=

an+1

log 3 2 an+1

=

( 3 2 )n

n

，
∴

1

bn

=n•(

2

3

)n
∴數列{

1

bn

}的前n項和前T_n=1•

2

3

+2•(

2

3

)2+…+n•(

2

3

)n
∴

2

3

Tn=1•(

2

3

)2+2•(

2

3

)3+…+n•(

2

3

)n+1
兩式相減可得

1

3

Tn=

2

3

+(

2

3

)2+(

2

3

)3+…+(

2

3

)n-n•(

2

3

)n+1=2-2•(

2

3

)n-n•(

2

3

)n+1
∴T_n=6-2(n+3)(

2

3

)n
（3）由（2）有b_n+1-b_n=

( 3 2 )n+1

n+1

-

( 3 2 )n

n

=(

3

2

)n•

n-2

2n(n+1)

∴n≤2時，有b_n+1-b_n≤0；n＞2時，b_n+1-b_n＞0
∴b_n的最小值為b₂=b₃=

9

8

∴-

8

3

bn＞2t-t2等價于-

8

3

×

9

8

＞2t-t2
∴t²-2t-3＞0
∴t＞3或t＜-1
∴t的最小正整數值是4．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，考查錯位相減法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．