Question

已知數列{a_n}對任意n∈N^*都有an+1=an+2n，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃和a₄的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由an+1=an+2n，且a₁=1．分別取n=1，2，3即可得出．
（2）方法一：由（1）猜想an=2n-1．再利用數學歸納法證明即可；
方法2：由an+1=an+2n，可得an+1-an=2n，然后再利用“累加求和”即可得出．

解答：解：（1）∵an+1=an+2n且a₁=1，
∴a2=a1+21=1+2=3，
a3=a2+22=3+4=7，
a4=a3+23=7+8=15．
（2）方法一：由（1）猜想an=2n-1
用數學歸納法證明：
①當n=1時，結論明顯成立．
②假設當n=k時，ak=2k-1成立．
那么當n=k+1，ak+1=ak+2k=2k-1+2k=2•2k-1=2k+1-1
命題也成立．
∴對一切n∈N^*，an=2n-1．
方法2：由an+1=an+2n
有an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2
…a2-a1=21
將以上各式相加，得到a_n-1=2+22+…+2n-1=

2-2n

1-2

=2n-2，
∴an=2n-1．

點評：本題考查了遞推公式的意義、數學歸納法方、“累加求和”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．