Question

已知數列{a_n}對任意的正整數n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，數列{b_n}滿足對任意正整數n，b_n是a_n和a_n+1的等差中項，則數列{b_n}的前10項和為

3069

1024

．

Answer 1

分析：由條件可得數列{a_n}是以2為首項、以

1

2

為公比的等比數列，求出數列{a_n}的通項公式，再由b_n是a_n和a_n+1的等差中項
可得數列{b_n}的通項公式，利用等比數列的前n項和公式求得數列{b_n}的前10項和．

解答：解：∵數列{a_n}對任意的正整數n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，
故

an+1

an

=

1

2

，故數列{a_n}是以2為首項、以

1

2

為公比的等比數列．
∴a_n =2×(

1

2

)n-1=

4

2n

．
b_n是a_n和a_n+1的等差中項，故 b_n =

an+an+1

2

=

2

2n

+

2

2n+1

=

6

2n+1

．
則數列{b_n}的前10項和為

b1(1-q10)

1-q

=

6 4 (1- 1 210 )

1- 1 2

=

3069

1024

，
故答案為

3069

1024

．

點評：本題主要考查等差中項的定義，等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，求出數列{b_n}的通項公式，是解題的關鍵，屬于中檔題．