Question

5．給出以下命題：
①若a＞b＞0，d＜c＜0，$\frac{{\sqrt{a}}}{c}＜\frac{{\sqrt{b}}}p9vv5xb5$；
②如果p₁•p₂≥4$\sqrt{{q_1}{q_2}}$，則關于x的實系數二次方程x²+p₁x+q₁=0，x²+p₂x+q₂=0中至少有一個方程有實根；
③若x≠kπ，k∈Z，則sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2；
④當x∈（0，2]時，f（x）=x-$\frac{1}{x}$無最大值．
其中真命題的序號是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 逐項判斷4個命題的正誤．①利用不等式的基本性質即可求解；②正確理解“至少一個”．可從反面來求，易得；③注意基本不等式的前提，即可判斷；④由已知函數的單調性易得．

解答 解：①∵a＞b＞0，∴$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$，
又d＜c＜0，∴$\frac{1}p9vv5xb5＜0，\frac{1}{c}＜0$且$\frac{1}p9vv5xb5＞\frac{1}{c}$，
∴$-\frac{1}{c}＞-\frac{1}p9vv5xb5＞0$，
∴$\sqrt{a}•（-\frac{1}{c}）＞\sqrt{b}•（-\frac{1}p9vv5xb5）$，
∴$\frac{\sqrt{a}}{c}＜\frac{\sqrt{b}}p9vv5xb5$，故①正確；
②命題的逆否命題為：若兩個方程都無實根，則${{p}_{1}p}_{2}＜4\sqrt{{{q}_{1}q}_{2}}$，
若兩個方程都無實根，則有$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}{{=p}_{1}}^{2}-{4q}_{1}＜0}\\{{△}_{2}{{=p}_{2}}^{2}-{4q}_{2}＜0}\end{array}\right.$，
∴${{p}_{1}}^{2}＜{4q}_{1}$，${{q}_{2}}^{2}＜{4q}_{2}$，∴${{p}_{1}}^{2}{{•p}_{2}}^{2}＜1{{6q}_{1}q}_{2}$，∴${{p}_{1}p}_{2}＜4\sqrt{{{q}_{1}q}_{2}}$，故其逆命題正確，所以原命題正確，即②正確；
③取$x=-\frac{π}{2}$≠kπ，此時$sinx+\frac{1}{sinx}=-2＜2$，故③錯誤；
④∵函數$f（x）=x-\frac{1}{x}$在（0，2]上是增函數，所以函數在（0，2]上有最大值f（2）=$\frac{3}{2}$，故④錯誤．
綜上可知，①②正確故選A．

點評 本題主要考查不等式性質，基本不等式和函數的單調性．屬于易錯題．