Question

已知函數f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

．
（1）試求函數f（x）的定義域，并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）已知a是方程f（x）=0的一個實數解，求證：|a|＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）要使函數有意義，必須使得分母不為0，對數的真數大于0即可得函數的定義域，再利用f（-x）=-f（x），判斷函數的奇偶性；
（2）易證函數在（0，1）上為減函數，在（-1，0）上也是減函數，又f(

1

2

)＞0，問題可得證．

解答：解：（1）由

x≠0 1+x 1-x ＞0

得，x∈（-1，0）∪（0，1）------------------------（2分）
又f(-x)=

1

-x

-lg

1-x

1+x

=-f(x)∴f（x）為奇函數--------------------------------------------------（6分）
（2）可證f（x）在（0，1）上是減函數，又f（x）為奇函數∴f（x）在（-1，0）上也是減函數----------（10分）∵f(

1

2

)=2-log23＞0，f（x）為奇函數∴a＞

1

2

或a＜-

1

2

即|a|＞

1

2

--------------------------（14分）

點評：本題主要考查函數的性質，考查定義域、單調性、奇偶性，屬于基礎題．