Question

已知f（x）=log_0.5（10-ax），f（3）=-2．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x）≥0的解集；
（3）若f（x）-

1

2x

-m＞0對于x∈[3，4]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,函數恒成立問題,指、對數不等式的解法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）轉化為指數式（

1

2

）^-2=10-3a，（2）根據對數函數的定義域，單調性，得出0＜10-2x≤1，求解即可．
（3）log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

-m＞0對于x∈[3，4]恒成立，令k（x）=log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

，轉化為函數的最值求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_0.5（10-ax），f（3）=-2．
∴（

1

2

）^-2=10-3a，
即4=10-3a，
a=2，
（2）f（x）=log 

1

2

（10-2x），
∵f（x）≥0，
∴log 

1

2

（10-2x）≥0，
即0＜10-2x≤1，

9

2

≤x＜5，
∴不等式f（x）≥0的解集：{x|

9

2

≤x＜5}．
（3）∵f（x）-

1

2x

-m＞0對于x∈[3，4]恒成立，
∴log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

-m＞0對于x∈[3，4]恒成立，
令k（x）=log 

1

2

（10-2x）-

1

2x

，
∵k（x）在x∈[3，4]上單調遞增，
∴最小值為：k（3）=-2-

1

8

=

15

8

只需m＜

15

8

即可有f（x）-

1

2x

-m＞0對于x∈[3，4]恒成立，

點評：本題考查了指數，對數函數，的綜合運用，融合不等式的恒成立問題，與最值的關系，屬于中檔題，結合的知識較多．