Question

請作出函數、(x≠0)的圖象，并由圖象指出相應函數的單調區間；對一般的m、n，根據函數(x≠0)(m，)的圖象得出函數的單調區間，并用定義證明你的結論；如果把條件“m，”改為“m，nÎ R”，你能得到什么結論？

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)分別作出、(x≠0)、(x≠0)(m，)的圖象： 觀察圖象知：的單調遞增區間為(－∞，－1]，[1，＋∞)，單調遞減區間為[－1，0]，(0，1)；(x≠0)的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，；(x≠0)(m，)的單調遞增區間為，，單調遞減區間為，． (2)下面證明：(x≠0)(m，在上是增函數． 設，是上的任意兩個實數，且，則 ． ∵，∴，又，，則，∴． ∴(x≠0)(m，在上是增函數． 其他情形類似證明． (3)如果把條件“m，”改為“m，nÎ R”，則可以得到以下結論： 當m＞0，n＞0時，函數(x≠0)在，上是增函數，而在，上是減函數． 當m＞0，n=0時，函數是R上的增函數． 當m＞0，n＜0時，函數在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函數． 當m=0，n＞0時，函數在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是減函數． 當m=0，n=0時，函數h(x)=0為常值函數． 當m=0，n＜0時，函數在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函數． 當m＜0，n＞0時，函數在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是減函數． 當m＜0，n=0時，函數在(－∞，＋∞)上都是減函數． 當m＜0，n＜0時，函數函數(x≠0)在，上是減函數．在，上是增函數．