Question

已知函數f(x)=

cos2x-sin2x

2

，g(x)=

3

sinxcosx
（1）函數f（x）的圖象可由函數g（x）的圖象經過怎樣的變化得出？請作出函數y=f（x）在x∈[0，2π]范圍的簡圖．
（2）求函數h（x）=f（x）-g（x）的單調減區間，最小值，并求使h（x）取得最小值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡g（x）的解析式為

3

2

cos2（x-

π

4

），從而得到結論，并作出函數y=f（x）在x∈[0，2π]
范圍的簡圖．
（2）化簡函數h（x）=cos（2x+

π

3

），由 2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈z，解得x的范圍，即可得到減區間；由此可得
函數取得最小值時的x的集合．

解答：解：（1）函數f（x）=

1

2

cos2x，g（x）=

3

2

sin2x=

3

2

cos（2x-

π

2

）=

3

2

cos2（x-

π

4

），
故把函數g（x）的圖象上的各點項左平移

π

4

個單位，再把各點的縱坐標變為原來的

1

3

倍，即可得到函數f（x）的圖象．
函數y=f（x）在x∈[0，2π]范圍的簡圖如題所示：

（2）∵函數h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

），
由 2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈z，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z．
故函數h（x）的減區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．
當 2x+

π

3

=2kπ+π，即x=kπ+

π

3

，k∈z 時，函數h（x）有最小值為-1．
故使h（x）取得最小值的x的集合為{x|x=kπ+

π

3

，k∈z }．

點評：本題考查三角函數的圖象特征和圖象變換，求三角函數的最值，得到h（x）=cos（2x+

π

3

），是解題的關鍵．