Question

已知函數f（x）的定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且對于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時，f（x）＞0；
（1）求f（1）與f（-1）的值；             
（2）判斷函數的奇偶性并證明；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；再令x₁=x₂=-1，代入題中的條件可得f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，并且結合（1）中的結論可得答案．
（3）設x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，結合題中條件可得：f（

x2

x1

）＞0，再由f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)可得答案．
（4）由題意可得：f（16）=2，則有：f（3x+1）≤f（16），再根據函數為偶函數可得：f（|3x+1|）≤f（16），
進而結合函數的單調性可得答案．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，則有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，則有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函數f（x）是偶函數．
（3）設x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，則有

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，
所以f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
所以函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（4）由題意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因為函數f（x）為偶函數，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因為函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握抽象函數的性質，如求函數值、單調性、奇偶性等性質，以及利用有關的性質解不等式，證明或者判斷抽象函數的奇偶性或者求函數值時一般利用賦值的方法解決，此題屬于中檔題，高考考查的熱點之一．