(2)已知f(x)滿足f(x-
)=x2+
,求函數f(x)的解析式;
(3)已知函數f(x)是一次函數,且f［f(x)］=4x+1,求函數f(x)的解析式.
思路解析:解決此類問題的關鍵是找出對應關系,找對應關系常用的方法有三種,即拼湊法、換元法、待定系數法.
解:(1)方法一:拼湊法.
∵f(x-3)=x2+3x+1=(x-3)2+6x-9+3x+1=(x-3)2+9x-8=(x-3)2+9(x-3)+27-8
=(x-3)2+9(x-3)+19,
∴f(x)=x2+9x+19.
方法二:換元法.
令t=x-3,則x=t+3,
∴f(t)=(t+3)2+3(t+3)+1=t2+9t+19.
∴f(x)=x2+9x+19.
(2)設x-=t,則(x-)2=t2,∴x2+
=t2+2.∴f(t)=t2+2.
∴所求函數的解析式為f(x)=x2+2.
(3)設f(x)=kx+b(k≠0),
∴f［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b.
又∵對x∈R總有f［f(x)］=k2x+kb+b=4x+1,
∴
∴f(x)的解析式為f(x)=2x+
,或f(x)=-2x-1.
深化升華
(1)拼湊法需要較高的變形能力,通過對已有解析式進行變形,找出對應關系;
(2)換元法是解決此類問題在邏輯上最容易接受的一種方法,通過換元找出對應關系;
(3)待定系數法在應用時,一定要弄清函數類型,切不可盲目下手.
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