Question

已知函數的圖像是自原點出發的一條折線，當時，該圖像是斜率為的線段（其中正常數），設數列由定義.

Ⅰ.求、和的表達式；

Ⅱ.求的表達式，并寫出其定義域；

Ⅲ.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.

Answer 1

答案見解析

解析:

Ⅰ.解：依題意，又由，當時，函數的圖像是斜率為的線段，故由，得

又由，當時，函數的圖像是斜率為的線段，故由 ，即得 

記由函數圖像中第段線段的斜率為，故得

又；所以

由此知數列為等比數列，其首項為1，公比為因得

即 

Ⅱ. 解：當，從Ⅰ可知當時，

當時，即當時，由Ⅰ可知

為求函數的定義域，須對進行討論.

當時，；

當時，也趨向于無窮大.

綜上，當時，的定義域為；

當時，的定義域為.

Ⅲ. 證法一：首先證明當，時，恒有成立.

用數學歸納法證明：

（ⅰ）由Ⅱ知當時,在上,

所以成立

（ⅱ）假設時在上恒有成立.

可得

在上,

所以

也成立.

由(ⅰ)與(ⅱ)知,對所有自然數在上都有成立.

即  時,恒有.

其次，當,仿上述證明,可知當時,恒有成立.

故函數的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.

證法二:首先證明當,時,恒有成立.

對任意的存在,使，此時有

所以

又所以，

所以，即有成立.

其次，當，仿上述證明，可知當時，恒有成立.

故函數的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.