Question

若兩個正實數x，y滿足

1

x

+

4

y

=1，且不等式x+

y

4

＜m2-3m有解，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-1，4）
• B、（-∞，-1）∪（4，+∞）
• C、（-4，1）
• D、（-∞，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：將不等式x+

y

4

＜m2-3m有解，轉化為求∴（x+

y

4

）_min＜m²-3m，利用“1”的代換的思想進行構造，運用基本不等式求解最值，最后解出關于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．

解答：解：∵不等式x+

y

4

＜m2-3m有解，
∴（x+

y

4

）_min＜m²-3m，
∵x＞0，y＞0，且

1

x

+

4

y

=1，
∴x+

y

4

=（x+

y

4

）（

1

x

+

4

y

）=

4x

y

+

y

4x

+2≥2

4x y • y 4x

+2=4，
當且僅當

4x

y

=

y

4x

，即x=2，y=8時取“=”，
∴（x+

y

4

）_min=4，
故m²-3m＞4，即（x+1）（x-4）＞0，
解得x＜-1或x＞4，
∴實數m的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞）．
故選：B．

點評：本題考查了基本不等式在最值中的應用，不等式的有解問題．在應用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運用基本不等式解題的關鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點在于如何合理正確的構造出定值．對于不等式的有解問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．屬于中檔題．