Question

9．已知函數f（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$+1-3a（a＞0）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程（寫成一般式）．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥（1-a）lnx在x∈[1，+∞）時恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求導數，確定切線的斜率，即可求出切線方程；
（Ⅱ）記g（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$+1-3a-（1-a）lnx，分類討論，利用g′（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（2）=$\frac{3}{4}$，f（2）=$\frac{1}{2}$，
∴函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$（x-2），即3x-4y-4=0；
（Ⅱ）記g（x）=ax+$\frac{2a-1}{x}$+1-3a-（1-a）lnx，g′（x）=$\frac{a（x-1）[x-（\frac{1}{a}-2）]}{{x}^{2}}$，
0$＜a＜\frac{1}{3}$時，g′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{a}$-2，令g′（x）＜0，得1＜x＜$\frac{1}{a}$-2，
∴g（x）在（1，$\frac{1}{a}$-2）上是減函數，
∴x∈（1，$\frac{1}{a}$-2），g（x）＜g（1）=0，與g（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立矛盾；
a≥$\frac{1}{3}$，g′（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立，g（x）在[1，+∞）為增函數，
∴g（x）≥g（1）=0，符合題意，
綜上所述，a≥$\frac{1}{3}$

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．