Question

已知函數f（x）=9^x+a•3^x（a≤-2）
（1）若f（1）=0，求實數a的值；
（2）當0≤x≤1，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）直接利用已知條件結合f（1）=0，即可求實數a的值；
（2）利用換元法化簡函數為閉區間上的二次函數，求出函數的對稱軸，討論對稱軸的數值是否在區間內，即可求解當0≤x≤1，求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=9^x+a•3^x（a≤-2）f（1）=0，
∴9+3a=0，∴a=-3．            …（4分）
（2）f（x）=（3^x）²+a•3^x．
令 3^x=t，則1≤t≤3，g（t）=t²+at，對稱軸 t=-

a

2

≥1． …（6分）
i）當1≤-

a

2

≤3，即-6≤a≤-2 時，
y （t）|_min=g （-

a

2

）=-

a2

4

，此時x=log3(-

a

2

)．
ii）當-

a

2

＞3，即a＜-6時，g （t） 在[1，3]上單調遞減，
∴g （t）|_min=g（3）=3a+9，此時x=1．                       …（10分）
綜上所述，當a＜-6時，f（x）|_min=3a+9；
當-6≤a≤-2時，f（x）|_min=-

a2

4

．…（12分）

點評：本題考查換元法以及二次函數在閉區間上的最值的求法，考查轉化思想以及計數變量．