Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且f（x）=g（x）a^x（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，則a的值為

1

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

 得到含a的式子，求出a的兩個(gè)值，再由已知，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)

f(x)

g(x)

=ax的單調(diào)性，求出a的范圍，判斷a的兩個(gè)之中哪個(gè)成立即可．

解答：解：令x=1，由f（x）=g（x）a^x（a＞0且a≠1），得到f（1）=a•g（1）．
令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分別代入

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得：a+

1

a

=

5

2

，化簡(jiǎn)得2a²-5a+2=0，
即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=

1

2

．
又由f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），即f（x）g'（x）-f'（x）g（x）＞0，也就是[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，說(shuō)明函數(shù)

f(x)

g(x)

=a^x是減函數(shù)，
故有0＜a＜1，故只有a=

1

2

，
故答案為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用有理數(shù)指數(shù)冪公式化簡(jiǎn)求值，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．