Question

如圖，互相垂直的兩條公路AP、AQ旁有一矩形花園ABCD，現欲將其擴建成一個更大的三角形花園AMN，要求點M在射線AP上，點N在射線AQ上，且直線MN過點C，其中AB=36米，AD=20米．記三角形花園AMN的面積為S．
（Ⅰ）問：DN取何值時，S取得最小值，并求出最小值；
（Ⅱ）若S不超過1764平方米，求DN長的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，從而AN，AM用DN表示，利用三角形的面積公式表示出面積，再利用基本不等式求最值，注意等號何時取得．
（Ⅱ）由S不超過1764平方米，建立不等式，從而可求DN長的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設DN=x米（x＞0），則AN=x+20．
因為DC∥AB，所以△NDC∽△NAM
所以

DN

DC

=

AN

AM

，
所以

x

36

=

x+20

AM

，即AM=

36(x+20)

x

．
所以S=

1

2

×AM×AN=

18(x+20)2

x

…（4分）
=18(x+

400

x

+40)≥1440，當且僅當x=20時取等號．
所以，S的最小值等于1440平方米．…（8分）
（Ⅱ）由S=

18(x+20)2

x

≤1764得x²-58x+400≤0．…（10分）
解得8≤x≤50．
所以，DN長的取值范圍是[8，50]．…（12分）

點評：本題考查將實際問題轉化成數學問題的能力，考查解不等式，考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．