Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數n，有S_n、a_n、n成等差數列．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{

2an

an+1

}的前n項和T_n；
（Ⅲ）數列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1，若{b_n}為等比數列，求實數λ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，2a_n=S_n+n，當n=1時，可求a₁，n≥2時，由2a_n-1=s_n-1+n-1，兩式相減得，a_n=2a_n-1+1，可證明，進而可求通項
（Ⅱ）Cn=

2an

an+1

=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

，利用分組，結合等比數列的求和公式可求數列的和
（Ⅲ）由 {b_n}為等比數列 可得b22=b1b3，結合已知遞推公式代入可求λ

解答：解：（Ⅰ）依題意，2a_n=S_n+n
當n=1時，2a₁=a₁+1
∴a₁=1
n≥2時，2a_n-1=s_n-1+n-1
兩式相減得，2a_n-2a_n-1=a_n+1
∴a_n=2a_n-1+1
令1+a_n=d_n，d₁=a₁+1=2 
當n≥2時，

dn

dn-1

=

an+1

an-1+1

=2
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數
∴dn=2•2n-1=2n，an=2n-1    …（4分）
（Ⅱ）Cn=

2an

an+1

=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴Tn=(2-

1

20

)+(2- 

1

2

)+(2-

1

22

)+…+(2-

1

2n-1

)
=2n-1(

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2n-2+

1

2n-1

（Ⅲ）∵b₁=3，b_n+1=λb_n+a_n+1=λbn+2n
∴b₂=λb₁+2=3λ+2b3=λb2+22=3λ2+2λ+4
∵{b_n}為等比數列  
∴b22=b1b3
∴9λ²+12λ+4=9λ²+6λ+12   
∴λ=

4

3

此時bn+1=

4

3

bn+2n
當λ=

4

3

時，b₁=3，b₂=6，q=2
∴bn=3•2n-1
∴b_n+1=

4

3

bn+2+2n-1=

4

3

•3•2n-1+2n=3•2ⁿ
滿足bn+1=

4

3

bn+2n
∴λ=

4

3

 …（12分）

點評：本題主要考查了利用構造法證明等比數列，及通項公式的求解，分組求和方法的應用，等差數列、等比數列的求和公式的應用，試題具有一定的綜合性