Question

18．已知函數f（x）=sinx（2$\sqrt{3}$cosx-sinx）+1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）討論f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函數f（x）為正弦型函數，求出它的最小正周期T即可；
（Ⅱ）根據正弦函數的單調性，求出f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上單調遞增，[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的單調遞減．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=sinx（2$\sqrt{3}$cosx-sinx）+1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+1
=$\sqrt{3}$（2sinxcosx）+（1-2sin²x）
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ）令z=2x+$\frac{π}{6}$，
則函數y=2sinz在區間[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z上單調遞增；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
令A=[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，B=[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
則A∩B=[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]；
∴當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上單調遞增，在區間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的單調遞減．

點評 本題考查了函數f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象與性質的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是基礎題目．