Question

若（x+2）ⁿ的展開式中第三項的系數是第二項系數的6倍
（Ⅰ）求展開式的第3項
（Ⅱ）若（x+2）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_n-1x^n-1+a_nxⁿ，則求-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題可知

C

2 n

•22=6

C

1 n

•2，解得n的值，即可求得 展開式第六項的值．
（Ⅱ）令x=0，a0=27，再令x=-1，可得a₀-a₁+a₂+…+a₆-a₇=1，由此求得-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值．

解答：解：（Ⅰ）由題可知

C

2 n

•22=6

C

1 n

•2，解得n=7．…（3分）
展開式第六項T3=

C

2 7

•22•x5=84x5．…（6分）
（Ⅱ）令x=0，a0=27． …（8分）
令x=-1，可得a₀-a₁+a₂+…+a₆-a₇=1，…（10分）
∴-a1+a2-a3+…-a7=1-27=-127．…（12分）

點評：本題主要考查二項式定理的應用，注意根據題意，分析所給代數式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．