Question

【題目】已知圓過(guò)， ，且圓心在直線(xiàn)上．

（Ⅰ）求此圓的方程．

（Ⅱ）求與直線(xiàn)垂直且與圓相切的直線(xiàn)方程．

（Ⅲ）若點(diǎn)為圓上任意點(diǎn)，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）圓過(guò)兩點(diǎn)，則圓心必在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，可先求出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程，再與已知直線(xiàn)方程聯(lián)立方程組解得圓心坐標(biāo)，然后求出半徑可得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）與題直線(xiàn)垂直，可設(shè)方程為，再由圓心到切線(xiàn)距離等于半徑求得參數(shù)即可；

（Ⅲ）面積的最大值即點(diǎn)到直線(xiàn)距離最大時(shí)取得，求出圓心到直線(xiàn)的距離，最大距離為，最小距離為為，從而可得最大面積．

試題解析：

（Ⅰ）易知中點(diǎn)為， ，

∴的垂直平分線(xiàn)方程為，

即，

聯(lián)立，解得．

則，

∴圓的方程為．

（Ⅱ）易知該直線(xiàn)斜率為，

不妨設(shè)該直線(xiàn)方程為，

由題意有，解得．

∴該直線(xiàn)方程為或．

（Ⅲ），即，

圓心到的距離．

∴

．