Question

已知函數f（x）=（

1

3

）^x，函數y=f^-1（x）是函數y=f（x）的反函數．
（1）若函數y=f^-1（mx²+mx+1）的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）當x∈[-1，1]時，求函數y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）=（

1

3

）^x，的反函數，寫出函數y=f^-1（mx²+mx+1）的表達式，然后利用它的定義域為R，mx²+mx+1＞0恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）求函數y=[f（x）]²-2af（x）+3的表達式，根據x∈[-1，1]，求出（

1

3

）^x的范圍，根據對稱軸是否在（

1

3

）^x的范圍內求函數g（a）的最小值．

解答：解：（1）∵f^-1（x）
=log

1

3

x（x＞0），
∴f^-1（mx²+mx+1）
=log

1

3

（mx²+mx+1），由題知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴①當m=0時，1＞0滿足題意；
②當m≠0時，
應有

m＞0 △=m2-4m＜

0
?0＜m＜4，
∴實數m的取值范圍為
0≤m＜4．
（2）∵x∈[-1，1]，
∴（

1

3

）^x∈[

1

3

，3]，
y=[f（x）]²-2af（x）+3=[（

1

3

）^x]²-2a（

1

3

）^x+3
=[（

1

3

）^x-a]²+3-a²，
當a＜

1

3

時，
y_min=g（a）=

28

9

-

2a

3

；
當

1

3

≤a≤3時，
y_min=g（a）=3-a²；
當a＞3時，y_min=g（a）=12-6A、
∴g（a）=

28 9 - 2a 3 (a＜ 1 3 ) 3-a2( 1 3 ≤a≤3) 12-6a(a＞3)

點評：本題考查反函數，函數的最值及其幾何意義，考查轉化思想，恒成立問題，計算能力，以及分析問題解決問題的能力，是中檔題．