Question

當a≥0，求函數f（x）=（sinx+a）（cosx+a）的最大值、最小值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：把給出的函數解析式展開，得到y=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．令t=sinx+cosx換元，得到
y=

t2-1

2

+at+a2=

1

2

[(t+a)2+a2-1]．然后分對稱軸-a＞-

2

，-a≤-

2

結合二次函數的單調性求得函數的最大最小值．

解答： 解：f（x）=（sinx+a）（cosx+a）
=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

t2-1

2

+at+a2=

1

2

[(t+a)2+a2-1]．
對稱軸方程為t=-a≤0，
當-a＞-

2

，即a＜

2

時，y在[-

2

，a]上為減函數，在（a，

2

]上為增函數，
∴ymin=

a2-1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

；
當-a≤-

2

，即a≥

2

時，y在[-

2

，

2

]上為增函數，
∴ymin=a2-

2

a+

1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

．
綜上，當0＜a＜

2

時，ymin=

a2-1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

；
當a≥

2

時，ymin=a2-

2

a+

1

2

，ymax=a2+

2

a+

1

2

．

點評：本題考查了與三角函數有關的函數最值的求法，考查了換元法，訓練了利用分類討論的方法求二次函數的最值，是中檔題．