Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）
（1）若在f（x）的圖象上橫坐標為

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的點處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；
（2）在（1）的條件下，是否存在實數m，使得函數g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象與函數f（x）的圖象恰有三個交點，若存在，試出實數m 的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），知f′（x）=-3x²+2ax，由在f（x）的圖象上橫坐標為

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的點處存在垂直于y 軸的切線，知f′(

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)=0，由此能求出a．
（2）由a=1，知要使函數函數g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象與函數f（x）的圖象恰有三個交點，等價于方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三個不同的實根．由此能夠求出結果．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²+1（a∈R），
∴f′（x）=-3x²+2ax，
∵在f（x）的圖象上橫坐標為

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的點處存在垂直于y 軸的切線，
∴f′(

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)=-3×（

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）²+2a×

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=0，
解得a=1．
（2）在（1）的條件下，a=1，
要使函數函數g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象與函數f（x）的圖象恰有三個交點，
等價于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1，
即方程x²（x²-4x+1-m）=0恰有三個不同的實根．
∵x=0=0是一個根，
∴應使方程x²-4x+1-m=0有兩個非零的不等實根，
由△=16-4（1-m）＞0，1-m≠0，
解得m＞-3，m≠1，
∴存在m∈（-3，1）∪（1，+∞），使函數g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的圖象與函數f（x）的圖象恰有三個交點．

點評：本題考查導數的幾何意義的應用，考查滿足條件的實數的求法．綜合性強，有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．