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對任意x、y∈R，且x、y≠0，已知函數y＝f(x)(x≠0)滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)．

求證：(1)f(1)＝f(－1)＝0；(2)y＝f(x)為偶函數．

答案：
解析：

　　證明：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0，同理，f(－1)＝0．

　　(2)令y＝－1，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)，

　　則f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

19、設f（x）為奇函數，對任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2，求f（x）在[-3，3]上的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數f（x）＞0，對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x） f（y）成立，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證f（x）在R上是增函數；
（3）若f（k•3x）f（3x-9x-2）＜1對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x），g（x）在R上有定義，對任意x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），且f（x）≠0，若f（1）=f（2），則g（-1）+g（1）=
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）若函數f（x）在R上單調，且對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），則f（0）=（　　）

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