Question

12．已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．設g（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，
（1）求a的值；
（2）對任意x₁＞x₂＞0，$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜1恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）討論方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的個數．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，函數的導數，極值點，判斷函數的單調性，求出函數的最小值，列出方程求解即可．
（2）利用函數的單調性的定義，構造函數利用導函數的符號，求解即可．
（3）推出$\frac{m}{x}=x-lnx（x≥1）$，通過圖象知m≥1時有一個根，m＜1時無根，或利用函數的最值判斷求解即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（-a，+∞）．f′（x）=1-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{x+a-1}{x+a}$．
由f′（x）=0，解得x=1-a＞-a．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-a，1-a）	1-a	（1-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數	極小值	增函數

因此，f（x）在x=1-a處取得最小值，
故由題意f（1-a）=1-a=0，所以a=1．…（4分）
（2）由$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜1知g（x₁）-x₁＜g（x₂）-x₂對x₁＞x₂＞0恒成立
即h（x）=g（x）-x=lnx-x+$\frac{m}{x}$是（0，+∞）上的減函數．
h'（x）=$\frac{1}{x}-1-\frac{m}{x^2}$≤0對（0，+∞）恒成立，m≥x-x²對x∈（0，+∞）恒成立，
（x-x²）_max=$\frac{1}{4}$，m≥$\frac{1}{4}$…（8分）
（3）由題意知lnx+$\frac{m}{x}$=x，$\frac{m}{x}$=x-lnx（x≥1）
由圖象知m≥1時有一個根，m＜1時無根．…（12分）
或解：m=x²-xlnx，（x²-xlnx）'=2x-lnx-1，x≥1，
又可求得x≥1時（2x-lnx-1）_min=1＞0，
∴x²-xlnx在x≥1時 單調遞增．x≥1時，x²-xlnx≥1，m≥1時有一個根，m＜1時無根．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，考查函數的最值的求法，考查分類討論思想以及計算能力．