Question

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)容器，分別盛有濃度為10%、20%的某種飲料各500ml．實(shí)驗(yàn)人員對(duì)它們進(jìn)行調(diào)和試驗(yàn)，調(diào)和操作程序是同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中各取出100ml溶液，分別倒入對(duì)方容器中并充分?jǐn)嚢杈鶆颍�稱為第一次調(diào)和；然后又同時(shí)從第一次調(diào)和后的甲、乙兩個(gè)容器中各取出100ml溶液分別倒入對(duì)方容器中并充分?jǐn)嚢杈鶆颍�稱為第二次調(diào)和；…依照上述操作程序反復(fù)進(jìn)行調(diào)和試驗(yàn)，記第n-1（n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中飲料的濃度分別為a_n和b_n．
（1）試寫出a₁和b₁的值．（2）依據(jù)調(diào)和程序，試用n表示甲、乙兩個(gè)容器中兩種飲料的濃度的差b_n-a_n．（3）試求出第n-1（n∈N*）次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器中飲料的濃度a_n、b_n關(guān)于n的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)知條件知a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）由a_n==a_n-1+b_n-1，b_n==b_n-1+a_n-1．知b_n-a_n=（b_n-1+a_n-1）-（a_n-1+b_n-1）=（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．由此能夠用n表示甲、乙兩個(gè)容器中兩種飲料的濃度的差b_n-a_n．
（Ⅲ）由b_n-a_n=和a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=聯(lián)立能夠求出a_n和b_n．
解答：解：（Ⅰ）依題設(shè)，a₁=10%，b₁=20%．
（Ⅱ）∵a_n==a_n-1+b_n-1，
b_n==b_n-1+a_n-1．
∴b_n-a_n=（b_n-1+a_n-1）-（a_n-1+b_n-1）=（b_n-1-a_n-1）（n≥2）．
可知數(shù)列{b_n-a_n}為首項(xiàng)是b₁-a₁=10%，公比為的等比數(shù)列，
∴b_n-a_n=（b₁-a₁）=10%=．
（Ⅲ）由（Ⅱ）b_n-a_n=①
又a_n+b_n=a_n-1+b_n-1═a₁+b₁=30%=②
聯(lián)立①②得a_n=-，b_n=+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．