Question

【題目】請您設計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

Answer 1

【答案】解：設OO1為xm，（1＜x＜4）． 則由題設可得正六棱錐底面邊長為： （m）．
（求解過程為： ）
于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）
帳篷的體積為（單位：m3） ．
可得：
求導數，得
令V'（x）=0解得x=﹣2（不合題意，舍去），x=2．
當1＜x＜2時，V'（x）＞0，V（x）為增函數；
當2＜x＜4時，V'（x）＜0，V（x）為減函數．
所以當x=2時，V（x）最大．
答當OO1為2m時，帳篷的體積最大．

【解析】設出頂點O到底面中心o1的距離，再求底面邊長和底面面積，求出體積表達式，利用導數求出高為何時體積取得最大值．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．