Question

11．在平面直角坐標系xOy中，記二次函數f（x）=x²+2x-1（x∈R）與兩坐標軸有三個交點，其中與x軸的交點為A，B．經過三個交點的圓記為C．
（1）求圓C的方程；
（2）設P為圓C上一點，若直線PA，PB分別交直線x=2于點M，N，則以MN為直徑的圓是否經過線段AB上一定點？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得x²+Dx+F=0，由題意求出D、F，求出f（0）的值后代入圓的方程求出F，可得圓C的方程；
（2）由f（x）=0得求出A、B的坐標，由條件設出PA、PB的方程和點M、N的坐標，由結論求出MN為直徑的圓方程，根據點P的任意性列出方程組，求出定點的坐標即可．

解答 解：（1）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得x²+Dx+F=0，則與x²+2x-1=0 是同一個方程，
所以D=2，F=-1，
由f（x）=x²+2x-1得，f（0）=-1，
令x=0 得y²+Ey+F=0，則此方程有一個根為-1，
代入解得E=0，
所以圓C 的方程為x²+y²+2x-1=0；  …6分
（2）由f（x）=x²+2x-1=0得，x=$-\sqrt{2}-1$或x=$\sqrt{2}-1$，
不妨設A（$-\sqrt{2}-1$，0），B（$\sqrt{2}-1$，0），
設直線PA的方程：y=k（x+$\sqrt{2}$+1），
因以MN為直徑的圓經過線段AB上點，
所以直線PB的方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\sqrt{2}+1）$，
設M（2，k（3+$\sqrt{2}$）），N（2，$-\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）$），
所以MN為直徑的圓方程為$（x-2）^{2}+[y-k（3+\sqrt{2}）][y+\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）]=0$，
化簡得，${（x-2）}^{2}+{y}^{2}-7-k（3+\sqrt{2}）y+\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）y=0$，
由P點任意性得：$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}-7=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得x=$2±\sqrt{7}$，
因為$-\sqrt{2}-1≤x≤\sqrt{2}-1$，所以x=$2-\sqrt{7}$，
即過線段AB上一定點（$2-\sqrt{7}$，0）…16分．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，待定系數法求圓的方程，以及圓過定點問題，考查化簡、變形能力．